电子元件在工作时因功耗过大而产生热量，电子元件之间的发热功率不相同，元件之间温度也不相同，它们之间因温度差异而发生热传递，造成元件整体的温度上升。同时，高温元器件布局较为密集，散热较慢，电子元器件受周围其他高温元件的影响较大，温度也会升高。这些都有可能使元件达到耐温值而损坏，从而导致整个电路板热失效，甚至无法正常运行，因此，研究电路板的热特性有利于改善电路温度[1]，而合理的布局则能起到降低温度的作用[2-4]。为了使电子元件工作在正常的工作温度范围内，对电子元件进行合理布局将十分必要，这不仅能降低电子元件温度，保证电路正常工作，而且能减少对外加散热器等装置的依赖。 近年来出现了大量关于印刷电路板热设计的研究成果。文献[5]采用有限元理论分析和ANSYS软件对线路板上多芯片组件的热场分布进行仿真，证明了不同布局能产生不同的热场分布。印刷电路板电子元件布局优化问题属于组合优化问题，一些启发式优化算法(如遗传算法、蚁群算法、模拟退火算法、粒子群算法等)能解决组合优化问题。文献[6]采用自组织遗传算法对印刷电路板(PCB)中的电子元件进行布局设计，并与固定权值遗传算法和随机加权遗传算法进行比较，结果表明其收敛性更好。文献[7]提出了一种布局布线协同算法，解决了PCB的散热问题，并起到抗噪声干扰的作用。文献[8]运用遗传算法对电子元件进行布局优化，以降低电路板局部温度应力。差分进化算法(differential evolution, DE)是解决组合优化问题的有效方法[9]，具有控制参数少、强鲁棒性等优点，在分布式发电系统调度[10]、配电网重构[11]、摄像机高精度标定[12]等众多领域得到应用，但是差分进化算法普遍存在搜索停滞和早熟收敛的问题[13-14]。针对差分进化算法存在的缺陷，本文在解决类似于印刷电路板布局优化的组合问题时对差分进化算法进行改进，并将改进的差分进化算法应用于规则分布电子元件的印刷电路板温度寻优中，旨在降低电路板的最高温度。 根据传热学原理[15]，假设在1块电路板上有16个规则分布的电子元件，如图1所示。把电路板划分为均等的网格，则电子元件按编号1～16分别放置在电路板上的坐标(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)。每个节点代表1个电子元件或传热介质，电路板中包含有内部节点和边界节点。 下面以电路板某内部节点(i,j)为例分析。该节点相当于1个电子元件的中点，由能量平衡原理可知，电子元件内部产生的热量、自然冷却吸收的热量和电路板传递给电子元件的热量之和为零。利用微元件热平衡法可以列出该节点与周围4个节点的能量平衡方程如公式(1)～(5)所示。该节点的热传导状态示意图如图2所示。 由此我们可知，这5个节点在同一平面，那么从节点(i+1,j)导入节点(i,j)的热量为： 从节点(i-1,j)导入到节点(i,j)的热量为： 从节点(i,j+1)导入到节点(i,j)的热量为： 从节点(i,j-1)导入到节点(i,j)的热量为： 式中，分子是各节点的温度差，分母表示两个节点之间的导热热阻。lx1是电子元件的长度，ly1是电子元件的宽度，lc是电子元件的厚度，lx2是电子元件左右两边节点之间的间距，ly2是电子元件前后两边节点之间的间距，λc是电子元件的导热系数，λg是空气的导热系数。利用上述原理，则此电子元件的热平衡方程为： 其中，Q∞为节点与周围流体的对流换热，Qp为节点与电路板的热传导，qi,j是节点(i,j)在单位时间内产生的热量。Q∞和Qp对应的数学表达式分别表示为： 其中，αh为电路板与电子元件的换热系数，lp为电路板的厚度，λp为电路板的导热系数，αp为电路板与空气的对流换热系数。 以上的分析主要是针对内部电子元件节点而言，在实际中还有如图3和图4所表示的节点在边界的情况，在印制电路板边缘区域的电子元件，当右节点无电子元件时，相当于与空气进行对流换热，或者当右节点和下节点无电子元件时，也相当于与空气进行对流换热。 电子元件周围边界可看成与周围流体之间的对流换热，因此，上述这两种情况的热平衡方程分别为： 差分进化算法(DE)的基本思想是将群体中的个体通过变异和交叉之后所生成的新个体对应的目标值与之前对应的目标值进行对比，按照选择原则更新个体或是保留旧个体。DE算法首先在解的取值范围内给定1个初始种群，然后作变异和交叉操作产生新一代种群，最后根据给定条件进行选择操作。该算法主要是解决连续性优化问题。本文对电路板进行网格化，而电子元件的布局问题是离散性问题，为了解决离散性问题，需要对差分进化算法进行二进制化。 2.1　差分进化算法的二进制化 DE算法在进行迭代过程中，首先初始化每一代G种群大小M，种群中的个体用一个D维向量表示为： 二进制差分进化算法就是把每个个体用二进制的形式表示，采用逻辑运算来计算，“+”表示“或”运算，“?”表示“与”运算，“⊕”表示“异或”运算，其变异操作表示为： 其中，Vi,G+1=(v1i,G+1,v2i,G+1,…,vDi,G+1)是第G+1代生成的新个体，F是随机生成的1个二进制位串，r1，r2和r3是从区间[1,M]中随机选取互不相同的整数，且不同于下标系数i。为了提高种群的多样性，在变异之后加入交叉操作，表示为： 其中，j=1,2,…，D，randb(j) 是[0,1]区间均匀分布概率；CR是用户预定义的交叉率，CR∈(0,1)；mbr(i)表示[1,D]区间生成的随机整数。 比较变异和交叉之后得到的目标值，若新的个体目标值优于旧个体的目标值，则新个体取代旧个体，否则保留旧个体。选择操作函数表示为： 2.2　变异操作和交叉操作的改进 在差分进化算法的操作步骤中，主要操作是变异策略的选择，策略的选择将影响到种群的走向。因此，在变异策略中选择适用于电子元件布局优化的DE/rand/2策略，并进行二进制化，能够产生更多互不相同的个体。在变异操作中根据以下式子进行二进制运算： 其中，Vi,G+1=(v1i,G+1,v2i,G+1,…,vDi,G+1)是第G+1代生成的新个体，F是随机生成的1个二进制位串，r1，r2，r3，r4和r5是从区间[1,M]中选取互不相同的整数，且不同于下标系数i，式中“+”表示“或”运算，“?”表示“与”运算，“⊕”表示“异或”运算。通过加入多个不同的数，再作多次二进制运算增加了种群的多样性，算法在寻优过程中将有更多的选择。 在交叉操作中，交叉率CR的值影响到运算中种群个体的取值，找到合理的值能提高种群的多样性，使算法在寻优中得到较好的效果。交叉率CR的大小与种群中的最优适应值相关联，当CR较大时，在交叉操作中会更多地选择变异操作中生成的新个体；相反地，当CR较小时，在交叉操作中则会更多地选择的目标个体，合适的交叉率有利于算法的优化进程，使算法更容易寻找到较优值。交叉率CR的变化公式为： 式中，CR(0)表示初始值，CRmin表示最小交叉率，Tmax是最大迭代次数。 2.3　改进的差分进化算法优化电子元件布局的步骤 图5　算法流程图Fig.5　Algorithm flowchart 基于DE的改进，对电路板中电子元件的布局进行优化，算法流程图如图5所示，具体步骤如下： ①初始化：给定交叉率CR(0)和CRmin，根据公式(15)计算CR(m+1)的值，最大迭代次数Tmax，随机生成初始种群，即电子元件分布的位置的集合。 ②变异操作：随机生成1个二进制串F，根据公式(14)进行变异操作，即进行二进制运算，得到的结果就是所生成的新种群，即新位置的集合。 ③交叉操作：按照公式(12)进行交叉操作，形成新种群，即新位置的集合。 ④选择操作：以热平衡方程式(5)作为适应度函数，计算每个个体适应值，并求每个个体适应度值中的最大值。若得到的新位置对应的最大温度值小于旧位置对应的最大温度值，则更新位置，否则，保留旧位置。 ⑤检查是否达到迭代值，若满足则退出计算，否则，转至步骤②。 在本文中，实验采用的电路板模型如图1所示，电路板的长和宽均为0.1 m，厚度为0.002 m，板上有16个尺寸大小相同的但功耗不完全相同的电子元件，电子元件的长宽均为0.015 m，厚度为0.008 m，电子元件之间的间距为0.008 m，周围环境温度为25 ℃，电子元件与空气的对流换热系数为8 W/(m2·℃)，电子元件的导热率都为1.57 W/(m·℃)，电路板的导热率为5 W/(m·℃)，各个电子元件的编号及功耗如表1所示。电子元件的散热方式采用的是自然对流散热的方式。由于热辐射作用很小，这里不考虑辐射的影响。 表 1　各电子元件的功耗值Tab.1　Power consumption value of the electronic parts芯片编号功耗/(W·cm-2)芯片编号功耗/(W·cm-2)芯片编号功耗/(W·cm-2)芯片编号功耗/(W·cm-2)........0..05640..0.0.099 实验首先利用改进的二进制差分进化算法进行电子元件的位置寻优，以降低电子元件的最高温度。在计算过程中，将电子元件的热平衡方程作为改进的二进制差分进化算法的适应性函数。关于电子元件的热平衡方程，由式(5)、式(8)和式(9)可知，在确定电子元件的自身参数及周围环境参数后即可确定电子元件功耗与其自身温度的关系。优化前后的理论求解结果如表2所示。 为了验证改进的优化算法的有效性，实验利用ANSYS对优化前后的电路板进行仿真分析。在优化前后，电子元件的位置发生改变，通过ANSYS软件进行仿真，可以观测到电子元件的温度变化情况。ANSYS仿真得到的模拟温度分布结果如图6和图7所示。图6表示优化前电子元件的温度分布，图7表示优化后电子元件的温度分布。优化前后的ANSYS仿真得到的电路板的最高温度、最低温度和平均温度如表2所示。 表2　优化前后结果温度对比Tab.2　Compare the results before and after optimization temperature布局形式理论值/℃ANSYS仿真值/℃最高温度最低温度平均温度最高温度最低温度平均温度初始布局(优化前)90......071优化布局(优化后)80......825 实验还进一步通过水泥电阻实际电路验证改进的优化算法的有效性。实验电路如图8所示，16个水泥电阻整齐均匀分布在电路板上。电阻之间连接方式为串联，因此，通过每个电阻的电流在大小和方向上是相同的，电阻的功耗与电阻的阻值成正比。在实验中，制作了两块电路板A和B，如图8所示，图中左边的电路板为优化布局后的电路，图中右边的电路板为优化布局前的电路，在这两块电路板的16个电阻位置上的电阻阻值不同，给这两块电路板施加相同的电压，即可得到优化前后的电路板工作情况。用红外热成像仪对电路板A和电路板B进行温度分析，温度分布如图9所示。 图8　两种不同布局的电路实物图Fig.8　Two different layout of the circuit in kind 图9　红外检测结果图Fig.9　Infrared detection results 由表2可见，利用数学模型进行求解，优化后所得到的电路板最高温度明显降低，两者相差9.99 ℃；利用ANSYS进行仿真，优化后所得到的电路板最高温度值降低了4 ℃。从图6和图7中的电路板上的温度分布可以看出，在ANSYS仿真中，由于电子元件位置的改变，温度最高区域明显减少。利用水泥电阻电路进行验证，从图9中可以看出，右边电路板上的温度明显较高，左边电路板的温度明显较低，由于水泥电阻的长宽、实验环境温度与仿真的参数有所差异，优化前后所得到的最高温度值也有所不同，优化后的电路板最高温度降低了17.1 ℃。 综合分析表2、图6、图7和图9可知，虽然理论求解结果、仿真结果及水泥电阻实验结果有些差异，但是经过位置优化后电路板的最高温度都得到有效降低，说明利用改进的差分进化算法能有效优化印刷电路板电子元件布局，使印刷电路板的温度降低。 此外，在利用改进的二进制差分进化算法进行计算的过程中，对改进的和未改进的差分进化算法进行比较，其迭代过程如图10所示。在图10中，改进后的二进制差分进化算法在寻优中经过44次迭代后电路板的最高温度从90.374 ℃降低至80.384 ℃，而未改进的二进制差分进化算法需要经过81次迭代最高温度值才降低至80.734 ℃。说明将改进的二进制差分进化算法应用到电子元件热布局优化中能达到降低温度的目的，并有较快的收敛速度，利用改进的差分进化算法进行规则分布电子元件的电路板热布局优化是高效的。 图10　算法改进前后最优解收敛对比图Fig.10　The improved algorithm converges around optimal comparison 本文对二进制差分进化算法进行改进，并将其应用于电路板电子元件热布局优化中，以降低电路板的最高温度。实验结果表明，在数值求解结果中，经过优化布局后的电路板最高温度降低了11.1%，在ANSYS仿真结果中，电路板最高温度降低了4.2%。在水泥电阻实验结果中，电路板最高温度降低了18.7%。虽然存在差异，但是电路板的最高温度有所减小，实验结果验证了改进的二进制差分进化算法应用于印刷电路板电子元件优化布局问题是可行的，说明该方法能有效地改善电路的工作温度。同时还比较改进的二进制差分进化算法与未改进的二进制差分进化算法的收敛速度，进一步说明了改进的二进制差分进化算法是一种收敛速度快的智能算法。

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